Так, можна, за таких умов:

Є письмова заява працівника про готовність їхати за власний рахунок.
Є згода роботодавця, оформлена наказом.
Стажування/навчання пов’язане з трудовими обов’язками працівника.

Працівник перебуває в статусі "у відрядженні" – отже, йому зберігається:
місце роботи;
посада;
середній заробіток (якщо це передбачено внутрішніми документами, колдоговором або наказом).
Але якщо поїздка повністю за власний рахунок (оплата проживання, дороги, харчування) — тоді її слід оформити як відрядження без компенсації витрат.

Як правильно оформити таке відрядження:
1. Заява працівника
Працівник подає заяву на ім’я керівника про направлення у відрядження за кордон з вказанням:
країни, організації приймаючої сторони;
періоду;
мети поїздки (навчання, стажування, участь у конференції тощо);
факту, що витрати покриваються за власний рахунок.
2. Наказ про відрядження
У наказі (довільна форма) обов’язково зазначити:
ПІБ працівника, посада;
місце, строк і мета відрядження;
джерело фінансування: “за власний рахунок працівника”;
чи зберігається середній заробіток (якщо так, то має бути прописано в колдоговорі чи Положенні про відрядження).
3. Лист-запрошення або підтвердження від закордонної сторони
Якщо є лист-запрошення на стажування — долучається до справи (не обов'язково, але бажано).

4. Відмітки у табелі обліку робочого часу
Відрядження позначається кодом “ВД” — робочі дні зберігаються, навіть якщо компенсації немає.

Юридичні аспекти:
Згідно з ст. 121 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n719), працівнику, якому надається службове відрядження, може зберігатися середній заробіток — але це не обов’язково в разі, якщо поїздка відбувається за власний рахунок і за ініціативою працівника.
Відповідно до п. 1 розд. ІІ Інструкції №59 (затв. наказом Мінфіну від 13.03.1998), відрядження оформляється незалежно від джерела фінансування. Інструкція обов'язкова для бюджетних установ, носить рекомендаційний характер для приватного сектору.

Раді допомогти, звертайтесь ще!