Наказ на відрядження: Так, це не помилка. Наказ на відрядження є внутрішнім документом ТОВ 1, а відмітки на магазинах ТОВ 2 слугуватимуть додатковим підтвердженням виконання експедитором своїх обов'язків за місцем призначення.
Підписання ТТН: Так, експедитор ТОВ 1 не тільки може, а й повинен розписуватися в товарно-транспортних накладних (ТТН) ТОВ 2 у відповідних графах («Експедитор прийняв/передав»). Це є прямим виконанням його службових обов'язків і підтвердженням надання експедиторської послуги. Проблем при перевірках це не створить.
Обґрунтування

1. Щодо наказу на відрядження
Наказ на відрядження є первинним документом, який оформлює роботодавець (ТОВ 1) для свого працівника. Його основна мета — обґрунтувати відсутність працівника на постійному робочому місці, підтвердити зв'язок поїздки з господарською діяльністю підприємства та компенсувати витрати на відрядження.

Місце призначення: В наказі вказується місце відрядження, яким у вашому випадку є магазини клієнта (ТОВ 2). Це є абсолютно коректним.
Відмітки про прибуття/вибуття: Хоча на сьогодні немає жорсткої законодавчої вимоги щодо проставлення відміток про прибуття та вибуття на посвідченні про відрядження (ця форма не є обов'язковою), така практика є доцільною. Відмітка, зроблена уповноваженою особою ТОВ 2 на магазині, буде додатковим доказом того, що експедитор ТОВ 1 фактично перебував у місці виконання завдання. Це підсилює доказову базу для підтвердження витрат на відрядження для самого ТОВ 1 і не створює жодних ризиків.
2. Щодо підписання ТТН експедитором
Це питання регулюється сутністю експедиторської послуги та правилами перевезення вантажів.

Роль експедитора: За договором транспортного експедирування експедитор (ТОВ 1) зобов'язується за рахунок клієнта (ТОВ 2) виконати або організувати виконання послуг, пов'язаних з перевезенням вантажу. Це прямо передбачено статтею 9 Закону України "Про транспортно-експедиторську діяльність" (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1955-15#n70). Експедитор може виконувати такі обов'язки, як супровід вантажу, приймання його за кількістю та якістю, організація розвантаження тощо.
ТТН як підтвердження послуги: Товарно-транспортна накладна є основним документом на перевезення вантажів. Факт надання послуги експедитора підтверджується єдиним транспортним документом або комплектом документів, які відображають шлях прямування вантажу. Підпис експедитора в ТТН якраз і є таким підтвердженням.
Сторони в ТТН: У вашій ситуації учасники перевезення в ТТН зазначатимуться таким чином:Вантажовідправник (або Замовник): ТОВ 2.
Перевізник: Компанія, що фактично здійснює перевезення (може бути як ТОВ 2, так і третя сторона).
Вантажоодержувач: Магазин ТОВ 2.
Експедитор: Працівник ТОВ 1, який діє на підставі договору між ТОВ 1 та ТОВ 2.
Таким чином, коли експедитор ТОВ 1 ставить свій підпис у ТТН, він діє як уповноважений представник клієнта (ТОВ 2) у процесі перевезення. Це підтверджує, що він прийняв вантаж для супроводу та передав його у пункті призначення.

Раді допомогти, звертайтесь ще!