Так, неприбуткова організація має право укладати строковий трудовий договір у випадку виробничої необхідності, зокрема — тимчасової відсутності працівників через хворобу. Законодавчо це регулюється наступним чином:

Можливість укладання строкового трудового договору у разі виробничої необхідності прямо передбачена ч. 2 ст. 23 Кодексу законів про працю України (КЗпП), яка дозволяє укладати строковий трудовий договір «у випадках, коли трудові відносини не можуть бути встановлені на невизначений строк з урахуванням характеру роботи, умов її виконання або інтересів працівника». Тимчасова заміна відсутнього працівника підпадає під це правило.
Зайнятість усіх посад за штатним розписом не є перешкодою. Якщо частина працівників відсутня, і є документальне підтвердження тимчасової непрацездатності (лікарняні листки), то дозволяється призначення тимчасового замінника на строковий трудовий договір. Відповідно до п. 2.6 Типової форми № П-3 "Штатний розпис" (затверджено наказом Держкомстату № 489 від 05.12.2008), штатний розпис є документом для постійного обліку посад, але не обмежує можливості тимчасової заміни у випадку лікарняних.
Оформлення має включати:

рішення правління або іншого уповноваженого органу неприбуткової організації (статутна вимога, див. п. 6 ст. 7 Закону України «Про громадські об’єднання» № 4572-VI від 22.03.2012),
наказ керівника про прийняття на роботу строкового працівника,
заява працівника,
типовий строковий трудовий договір
повідомлення ДПС про прийняття працівника на роботу (відповідно до п. 3 постанови КМУ № 413 від 17.06.2015).

Таким чином, ваша організація може укласти строковий трудовий договір із новим працівником на період хвороби основного працівника, навіть якщо посади в штатному розписі вже зайняті, за умови документального оформлення відповідно до вищевказаних норм. Потрібно лише належно обґрунтувати тимчасовий характер потреби в працівникові.

Раді допомогти, звертайтесь ще!