Так, реєстрацію ПН ви здійснюєте за першою подією на Замовника (отримувача послуги)

В таких тристоронніх договорах, коли платником є інша особа, ніж отримувач товарі/послуги, саме на фактичного Замовника чи реєструєте ПН за правилом першої події на підставі пп.187.1 ПКУ.
Той факт, що оплату здійснює третя сторона за договором, не змінює того, що податкова накладна складається саме на покупця (замовника). В пп.201.10 та інших нормах ПКУ вказано, що ПН складається та реєструється саме на покупця, не на фактичного платника.
Зокрема в ІПН податківці теж дають такі ж роз'яснення. ІПК від 21.10.2020 р. № 4359/ІПК/99-00-05-06-02-06.

Щодо дати складання, то ви визначаєте її за фактом першої події - отримання коштів чи надання послуг.
Так званий касовий метод, що визначений в пп.187.7 і визначає необхідність формування ПН за датою оплати, стосується лише оплат за бюджетні кошти, про що зазвичай зазначається в договорі.
У вашому випадку фінансування за рахунок благодійника (посольства) не є бюджетними коштами. Тому це правило ви не застосовуєте.

Раді допомогти, звертайтесь ще!