Чи обов'язковий письмовий трудовий договір для працівника

Не обов'язково, але є виключення.
Законодавством про працю України передбачена можливість укладення з працівниками трудових договорів як у письмовій формі шляхом підписання окремого документу під назвою трудовий договір, так і шляхом написання працівником заяви та виданням наказу роботодавця про прийняття працівника на роботу.
Відповідно до статті 24 КЗпП https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n141, додержання письмової форми є обов’язковим:

1) при організованому наборі працівників;

2) при укладенні трудового договору про роботу в районах з особливими природними географічними і геологічними умовами та умовами підвищеного ризику для здоров'я;

3) при укладенні контракту;

4) у випадках, коли працівник наполягає на укладенні трудового договору у письмовій формі;

5) при укладенні трудового договору з неповнолітнім

6) при укладенні трудового договору з фізичною особою;

6-1) при укладенні трудового договору про дистанційну роботу або про надомну роботу;

6-2) при укладенні трудового договору з нефіксованим робочим часом;

7) в інших випадках, передбачених законодавством України.

При цьому, відповідно до статті 2 Закону 2136 https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2136-20#n8, період дії воєнного стану сторони за згодою визначають форму трудового договору.(тобто трудовий договір може бути і в усній формі на період дії воєнного стану.)

Отже, трудовий договір може укладатися як в письмовій формі так і в усній в період дії воєнного стану.

Раді допомогти, звертайтесь ще!