Складання податкової накладної при благодійній допомозі та передоплаті

За датою оплати (отримання коштів від БФ)

При складанні такої ПН за тристороннім договором отримувачем дійсно буде лікарня як фактичний отримувач вашого товару (послуги).
Відповідно до ст. 187.4 датою виникнення податкових зобов'язань у разі постачання товарів/послуг з оплатою за рахунок бюджетних коштів є дата зарахування таких коштів на рахунок платника податку в банку/небанківському надавачу платіжних послуг або дата отримання відповідної компенсації у будь-якій іншій формі, включаючи зменшення заборгованості такого платника податку за його зобов'язаннями перед бюджетом.
https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2755-17#n4528

У вашому випадку якраз не виконується головна умова - кошти ви отримали не за рахунок бюджету, а від третьої особи. Тому і податкову накладну виписуєте по правилах першої події відповідно до п.187.1 - на дату отримання передплати.
Те, що саме лікарня застосовує касовий метод на ваші зобов'язання постачальника не впливає.
Наступні часткові постачання саме вже отримувачу (лікарні) в цілях ПДВ буде другою подією і на них ПН ви не складаєте.

Раді допомогти, звертайтесь ще!