Ні.

Відповідно до п.2.12 Інструкції №58 від 29.07.1993 https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#top - Після зазначення дати заповнення трудової книжки працівник своїм підписом завіряє правильність внесених відомостей.
Першу сторінку (титульний аркуш) трудової книжки підписує особа, відповідальна за видачу трудових книжок, і після цього ставиться печатка підприємства (або печатка відділу кадрів), на якому вперше заповнювалася трудова книжка.

Тому ставити підпис та печатку поточного роботодавця категорично не можна.

Є судове рішення, у якому зафіксовано, що відсутність відтиску печатки на титульній сторінці трудової книжки не є тим недоліком трудової книжки чи записів у них, за наявності якого трудовий стаж позивача не може вважатися підтвердженим ( https://youcontrol.com.ua/catalog/court-document/100461451/ ). Хоча трапляються ситуації, що ПФУ відмовляється приймати таку трудову книжку, тому потрібно буде звертатися до суду.

Раді допомогти, звертайтесь ще!