Так, можуть.

Відповідно до п. 3 ч. 1 ст. 25 Закону України "Про відпустки" від 15.11.1996 № 504/96-ВР https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/504/96-%D0%B2%D1%80#n268 відпустка без збереження заробітної плати за бажанням працівника надається в обов'язковому порядку матері або іншим особам, зазначеним у частині третій статті 18 та частині першій статті 19 цього Закону, в разі якщо дитина потребує домашнього догляду, - тривалістю, визначеною в медичному висновку, але не більш як до досягнення дитиною шестирічного віку, а в разі якщо дитина хвора на цукровий діабет I типу (інсулінозалежний) або якщо дитина, якій не встановлено інвалідність, хвора на тяжке перинатальне ураження нервової системи, тяжку вроджену ваду розвитку, рідкісне орфанне захворювання, онкологічне, онкогематологічне захворювання, дитячий церебральний параліч, тяжкий психічний розлад, гостре або хронічне захворювання нирок IV ступеня, - не більш як до досягнення дитиною шістнадцятирічного віку, а якщо дитині встановлено категорію "дитина з інвалідністю підгрупи А" або дитина, якій не встановлено інвалідність, отримала тяжку травму, потребує трансплантації органа, потребує паліативної допомоги - до досягнення дитиною вісімнадцятирічного віку.

Отже, за наявності підстав працівниці має бути надано відпустку без збереження заробітної плати до досягнення дитиною вісімнадцятирічного віку, тобто трудові відносини з працівницею будуть тривати до виповнення дитині 18 років. Звільнити працівницю можна на загальних підставах, наприклад, за власним бажанням або за угодою сторін.