Чи можна працювати за договором ЦПХ у ФОП

Може.

Важливо, щоб предмет договору чітко визначав результат, а не процес: наприклад, доставка вантажу, упаковка певної кількості товару тощо.
ПКУ не забороняє ФОП укладати ЦПХ-договори і не обмежує їх кількість.
Договір буде визнаний ЦПХ (а не трудовим), якщо виконані наступні вимоги - https://7eminar.ua/news/9051-fop-jedinnik-i-cpx-ci-vraxovuvati-vikonavcya-do-skladu-pracivnikiv:

• Немає підпорядкування: виконавець сам планує роботу.
• Оплата за результат: через акт приймання виконаних робіт/послуг
• Відсутність фіксованого графіка, наказів, табелювання.
• Незалежність від замовника — не працюють постійно, в штатному режимі

Ні, подання повідомлення в ДПС в цьому випадку законодавством не передбачено.
Норми трудового законодавства не розповсюджуються на відносини, які виникають між замовником і виконавцем у рамках укладеного договору ЦПХ. В ЦКУ немає вимоги, яка б передбачала обов’язок замовника повідомляти ДПС про укладені договори підряду, або договори про надання послуг.
Але, тут є нюанс. Форма Повідомлення про прийняття працівника на роботу / укладання гіг-контракту (наведена в додатку 1 до Постанови №413 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/413-2015-%D0%BF#Text) передбачає можливість подати інформацію про осіб, з якими укладені договори ЦПХ. У графі 5 «Категорія особи» можуть бути зазначені такі категорії осіб:
1 – наймані працівники за основним місцем роботи;
2 – працівники за сумісництвом;
3 – гіг-спеціалісти за гіг-контрактом;
4 – особи на підставі цивільно-правових договорів;
5 – домашні працівники.
Але, цей факт не означає, що при укладенні договору ЦПХ необхідно подавати Повідомлення. Такий обов’язок не встановлений, а ні нормами КЗпП, а ні нормами Постанови №413. Але, за бажанням ви можете подати Повідомлення в ДПС при укладенні ЦПХ, це не буде помилкою.Цей висновок підтверджується роз’ясненням Мінекономіки, наведеним у листі від 28.01.2022 №4706-06/4356-01, де зазначається, що ні трудовим, ні цивільним законодавством не передбачено обов'язку будь-якої зі сторін цивільно-правового договору інформувати ДПС та її територіальні органи про його укладення, а також відповідальності за невчинення таких дій.
Відповідь щодо ТЦК була надана у попередньому питанні.

Раді допомогти, звертайтесь ще!