В бухобліку означені кошти слід відображати із застосуванням субрахунку 482.

1. В означеному разі мова явно йде про цільове фінансування. Адже метою надання таких коштів є компенсація витрат роботодавця на оплату праці працевлаштованої особи з числа внутрішньо переміщених осіб.
В бухобліку доход від цільового фінансування відображають згідно з правилами п. 17 та п. 19 НП(С)БО 15 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0860-99#o34. Там сказано:
1) отримане цільове фінансування (у тому числі кошти, вивільнені від оподаткування у зв'язку з наданням пільг з податку на прибуток підприємств) визнається доходом протягом тих періодів, в яких були зазнані витрати, пов'язані з виконанням умов цільового фінансування.
2) цільове фінансування для компенсації витрат (збитків), яких зазнало підприємство, та фінансування для надання підтримки підприємству без установлення умов його витрачання на виконання у майбутньому певних заходів визнаються дебіторською заборгованістю з одночасним визнанням доходу.
Отже, якщо Ви спочатку отримуєте означені кошти, а потім несете витрати на зарплату ВПО, то в бухобліку ці операції можна показати так: Дт 311 Кт 482 (отримано кошти від центру зайнятості), Дт 23, 91, 92, 93, 949 Кт 661, 651 (нараховано зарплату працівникам, та нараховано на неї соцвнесок), Дт 482 Кт 718 (відображено доход від цільового фінансування.
Якщо ж Ви спочатку нараховуєте ВПО зарплату, а тільки після цього Вам надходять кошти від центру зайнятості, то бухзаписи можуть бути такими: Дт 377 Кт 482 (нараховано цільове фінансування на дату одержання повідомлення про рішення надати компенсацію), Дт 482 Кт 718 (відображено доход від цільового фінансування), та Дт 311 Кт 377 (отримано компенсацію від центру зайнятості).

Отже, на суму отриманих коштів, Вам справді в бухобліку треба визнавати доход.

2. Ні, оскільки Ви неприбуткова організація, то Вам не потрібно сплачувати податки із отриманих коштів.

3. Саме по собі отримання обговорюваних коштів не повинно впливати на Ваше неприбутковість.

4. Самого працівника Ви маєте оформити на роботу за загальними правилами.

Для отримання ж коштів від центру зайнятості слід подати заяву та перелік наступних документів:

копію наказу про працевлаштування особи;
відомості про працівників, які є застрахованими особами (прізвище, ім’я, по-батькові, реєстраційний номер облікової картки платника податків або серія та номер паспорта (для фізичних осіб, які через свої релігійні переконання відмовляються від прийняття реєстраційного номера облікової картки платника податків та повідомили про це відповідному контролюючому органу і мають відмітку в паспорті);
копію довідки про взяття на облік внутрішньо переміщеної особи;
копію документа, в якому зазначена інформація про інвалідність працевлаштованої особи.

Більше про це за посиланням: https://7eminar.ua/news/9539-pracevlastuvannya-vnutrisnyo-peremishhenix-osib-vpo-vid-otrimannya-kompensaciyi-do-obliku.